В России построили трехмерную модель защитных барьеров от землетрясений

Когда земная кора содрогается от землетрясения, большая часть разрушений совершается не объемными волнами, которые распространяются из гипоцентра, а поверхностными — теми, что скользят вдоль верхнего слоя Земли подобно ряби на воде. Среди них особую роль играют волны Рэлея: открытые еще в XIX веке лордом Рэлеем теоретически и затем подтвержденные наблюдениями, они заставляют поверхность земли совершать эллиптическое движение в вертикальной плоскости — вверх-вниз и вперед-назад одновременно. Именно это сочетание компонент делает волны Рэлея особенно разрушительными для протяженных конструкций: мостов, трубопроводов, подземных коммуникаций, фундаментов высотных зданий. Скорость волн Рэлея несколько меньше скорости поперечных сейсмических волн, но их амплитуда затухает гораздо медленнее с расстоянием, чем у объемных волн.

Традиционные инженерные решения — укрепление фундаментов, сейсмоизолирующие подушки под зданиями — борются с последствиями уже после того, как волна добралась до сооружения. Принципиально иная идея — перехватить волну еще на подходе, преградив ей путь специальными барьерами.

Для этого в грунте выкапывают траншеи, которые заполняют материалом с иными акустическими свойствами, чем у окружающего грунта. Волна, натолкнувшись на такой барьер, частично отражается, частично рассеивается, и за барьером возникает «область тени» — зона со значительно меньшей амплитудой колебаний. В качестве наполнителя может выступать резина, пенополистирол, бетон; гравий — относительно новый и дешевый вариант, привлекательный доступностью, простотой укладки и возможностью быстрого монтажа.

Принципиальная сложность в моделировании поведения гравия состоит в том, что это сыпучий материал с нелинейными механическими свойствами. Он ведет себя совершенно по-разному при сжатии и при растяжении: зерна хорошо передают давление, но при попытке растянуть слой просто расходятся. Кроме того, материал обладает пластичностью: при значительных нагрузках частицы смещаются необратимо. Моделировать такой материал стандартными уравнениями упругости нельзя — они неизбежно дадут ошибку.

Российские ученые провели полноценное трехмерное моделирование, в то время как обычно используют упрощенные двумерные модели, не в полной мере отражающие реальное поведение системы. Они применили модель упруго-вязко-пластической среды с разными модулями для сжатия и растяжения, что позволило корректно воспроизвести деформационные процессы при прохождении сейсмической волны. Работа опубликована в журнале Mathematical Models and Computer Simulations при поддержке Российского научного фонда (проект №25-19-00404).

Схема распространения волны Рэлея вдоль свободной поверхности упругого полупространства. Именно этот тип волн переносит наибольшую долю разрушительной энергии землетрясения на большие расстояния от эпицентра / © Encyclopaedia Britannica

Численный метод, на котором основана работа,— сеточно-характеристический на параллелепипедных сетках. Это семейство конечно-разностных схем, использующих характеристики гиперболической системы уравнений: метод «следит» за тем, как волновые инварианты Римана переносятся вдоль характеристических направлений, что обеспечивает высокую точность при разрывах на границах сред. Для обработки нелинейных вязко-пластических членов использовалась явно-неявная схема расщепления: линейная упругая часть уравнений решалась явным образом (сеточно-характеристическим методом), а нелинейные поправки — неявно, что позволило получить устойчивый алгоритм без строгих ограничений на шаг по времени. Расчетная область составляла 1000 × 1000 × 300 метров — достаточно, чтобы охватить несколько длин волны Рэлея в каждом направлении и разместить серию барьеров.

Первая серия экспериментов была посвящена одиночному сплошному барьеру.

При длине волны Рэлея около 40 метров (центральная частота 1,5 герц, что типично для землетрясений средней интенсивности) один непрерывный барьер снизил амплитуду поверхностных колебаний примерно вдвое — с уровня 1 до 0,5. Это уже ощутимый результат, но недостаточный для защиты объектов критической инфраструктуры.

Авторы исследовали поведение системы из нескольких барьеров, расположенных последовательно. Оказалось, что десять барьеров высотой два метра и шириной 20 метров, разделенных промежутками по 6 метров, вместе снижают амплитуду в четыре раза. Каждый следующий барьер добавляет свою долю затухания к уже достигнутому.

Виды сейсмических волн. Схема распространения различных типов сейсмических волн от очага землетрясения: объемных (продольных P и поперечных S) и поверхностных (Рэлея и Лява) / © Kansas Geological Survey

Упруго-вязко-пластическая модель, использованная авторами для описания гравия, описывает три режима поведения материала.

При малых деформациях материал ведет себя как упругое тело: деформации полностью исчезают при снятии нагрузки. При превышении предела текучести включается вязко-пластический отклик, рассеивается сейсмическая энергия.

Третий режим — специфика насыпного материала: при растяжении зерна разлетаются, и эффективный модуль объемного сжатия при положительных (растягивающих) напряжениях стремится к нулю.

Все три режима были корректно реализованы в явно-неявной схеме: нелинейные поправки к тензору напряжений вычислялись неявно, что обеспечило устойчивость расчета даже при крупном шаге по времени.

Следующий вопрос — как ведут себя барьеры конечной длины? В реальных условиях нельзя прорыть бесконечную траншею: барьер всегда имеет ограниченную протяженность перпендикулярно фронту волны. Трехмерное моделирование позволило отследить, что происходит на краях барьера. Как и ожидалось, за торцами барьера возникает «дифракционная утечка»: часть энергии волны огибает препятствие с флангов и снова проникает в защищенную зону. Тем не менее за серединой барьера формируется устойчивая «область тени».

Физтехи с коллегами исследовали конфигурацию из нескольких параллельных барьеров, ориентированных перпендикулярно направлению распространения волны, и установили, что такая система лучше справляется с боковыми утечками: каждый следующий ряд дополнительно захватывает часть энергии, которая просочилась мимо предыдущего.

Особенно интересным оказался эффект соотношения длины волны и размера барьера. Оказалось, что барьер работает тем эффективнее, чем больше его размер по сравнению с длиной волны. Это интуитивно понятно: если волна «чувствует» препятствие как небольшую помеху, она легко огибает его, если же барьер сопоставим с длиной волны или превышает ее— препятствие становится полноценным рассеивателем.

Защита фундаментов. Грунтовые условия вблизи строительных объектов определяют характер распространения поверхностных волн / © G3 Soil Works

Авторы также сравнили два варианта модели материала и сделали вывод, что точное значение упругих свойств гравия при растяжении не является критическим параметром для проектирования барьера. Достаточно знать его свойства при сжатии, а они легко определяются стандартными испытаниями.

Василий Голубев, профессор кафедры информатики и вычислительной математики МФТИ, прокомментировал: «Известно, что траншеи и сейсмические барьеры могут ослаблять сейсмические волны, это было показано ранее в двумерных расчетах. Но только трехмерное моделирование позволяет увидеть, как волна обходит барьер с флангов, что происходит при конечных размерах защитной системы и как оптимально расставить несколько рядов барьеров. Полученные количественные зависимости дают инженерам конкретный инструмент: зная частотный спектр ожидаемого землетрясения, можно рассчитать, сколько рядов сейсмических барьеров и какой глубины нужно установить, чтобы снизить амплитуду колебаний за ними до безопасного уровня».