Физики перевели теорию узлов на понятный язык

История, стоящая за этой работой, уходит корнями в саму природу пространства. Узлы — замкнутые кривые, запутанные в трехмерном пространстве так, что их невозможно развязать без разрезания,— занимают математиков со времен лорда Кельвина, который в XIX веке предположил, что атомы являются узлами в мировом эфире. Эфирная гипотеза ушла в прошлое, но теория узлов расцвела как самостоятельная ветвь топологии. Центральная задача этой теории — научиться отличать один узел от другого, и для этого математики изобретают инварианты: алгебраические выражения, которые остаются неизменными при любых деформациях узла, не затрагивающих его топологическую сущность.

Самый знаменитый из полиномиальных инвариантов — полином Джонса, открытый в 1984 году и принесший своему автору медаль Филдса. Но еще более мощным оказался полином HOMFLY, названный по первым буквам фамилий шести его независимых первооткрывателей: Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter. Этот инвариант объединяет целое семейство квантовых полиномов, связанных с группами симметрий SU(n), и содержит полином Джонса как частный случай при n = 2. Каждое значение n задает свой инвариант, так называемый sl(n)-полином, а HOMFLY-полином кодирует их все разом.

Математические узлы — объекты теории узлов, лежащей в основе топологических инвариантов / © Quanta Magazine

Физический смысл этих красивых математических объектов раскрылся в конце 1980-х годов благодаря работам лауреата Филдсовской премии Эдварда Виттена. Оказалось, что HOMFLY-полиномы возникают естественным образом в трехмерной теории Черна—Саймонса — квантовой теории поля, описывающей поведение калибровочных полей в трех измерениях. HOMFLY-полиномы суть не что иное, как средние значения петель Вильсона — замкнутых контуров, вдоль которых «прощупывается» калибровочное поле с калибровочной группой SU(n). Теория Черна—Саймонса, в свою очередь, оказалась глубоко связана с теорией струн и в конечном счете с гипотетической М-теорией, претендующей на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий природы.

В начале 2000-х годов стало ясно, что полиномиальные инварианты — лишь тень более глубокой реальности. Михаил Хованов в 1999 году совершил прорыв: он показал, что полином Джонса можно «категорифицировать», то есть восстановить из него не просто число или полином, а целое градуированное пространство, когомологию, чья эйлерова характеристика возвращает исходный полином.

Полиноминальные инварианты и их категорификации соотносятся примерно как двумерная тень предмета и сам объемный предмет. Вскоре Хованов совместно с Львом Розанским обобщил эту конструкцию на весь HOMFLY-полином, создав так называемые когомологии Хованова—Розанского — одну из самых богатых и сложных структур в современной математической физике, триплетно-градуированную теорию, содержащую все sl(n)-гомологии как частные случаи.

Интерес физиков к категорификации далеко не случаен и не сводится к эстетике. Если HOMFLY-полиномы связаны с трехмерной теорией Черна—Саймонса, то когомологии Хованова—Розанского, согласно гипотезам Виттена и Гукова, должны отражать физику в четырех, пяти и даже шести измерениях — ту самую физику, которая управляется М-теорией. Переход от полиномов к когомологиям — это попытка уловить «эхо» высших измерений, пробивающееся сквозь трехмерную реальность. Однако здесь возникала серьезная практическая проблема: язык, на котором записаны когомологии Хованова—Розанского, это язык гомологической алгебры. Комплексы, цепные отображения, морфизмы, точные последовательности, спектральные последовательности — все это прекрасно работает в руках алгебраических топологов, но с трудом поддается физической интуиции, плохо приспособлено для масштабных вычислений и почти не допускает использования стандартных физических методов — функционального интегрирования, теории возмущений, суперсимметрии.

Именно эту проблему и решили авторы новой работы. Они предложили способ «поднять» хорошо известный формализм Решетихина—Тураева — стандартный инструмент построения топологических инвариантов в теории Черна—Саймонса, сопоставляющий алгебраические объекты компонентам диаграмм зацеплений,— на уровень когомологий Хованова—Розанского. Ключевая идея состоит в том, чтобы каждой диаграмме зацепления L поставить в соответствие дифференциальный оператор OL, действующий на пространстве функций, зависящих как от обычных четных (бозонных), так и от нечетных грассмановых (фермионных) переменных. Статья опубликована в журнале Physical Review D.

Грассмановы переменные — математический объект, подчиняющийся правилу антикоммутативности: при перестановке двух таких переменных результат меняет знак. В квантовой теории поля именно такие переменные описывают фермионы — электроны, кварки и другие частицы, составляющие материю и подчиняющиеся принципу запрета Паули. Использование фермионных переменных здесь не прихоть, а необходимость: нечетная (фермионная) природа операторов обеспечивает их ключевое свойство — нильпотентность.

Замечательное свойство построенных операторов состоит в следующем: для замкнутых диаграмм зацеплений квадрат оператора обращается в нуль — OL² = 0. На первый взгляд это может показаться тривиальным, но для математика и физика такое равенство — золотая жила. Оно означает, что оператор является дифференциалом, и можно строить когомологии — находить нулевые моды оператора, то есть те функции, которые оператор уничтожает, но которые сами не являются образами других функций под действием этого же оператора. Именно эти когомологии — пространства нулевых мод — и дают инварианты узлов и зацеплений, устойчивые к так называемым движениям Рейдемейстера. Движения Рейдемейстера — это три типа элементарных деформаций плоской диаграммы узла (добавление или удаление петельки, перекидывание одной дуги через другую, сдвиг дуги через перекресток), которые изменяют внешний вид диаграммы, не меняя самого узла. Любые две диаграммы одного и того же узла можно перевести друг в друга конечной последовательностью таких движений, и потому инвариантность относительно них — золотой стандарт любого топологического инварианта.

Для построения операторов на отдельных вершинах (перекрестках) диаграмм авторы использовали технику матричных факторизаций — мощный алгебраический инструмент, восходящий к работам самого Хованова и Розанского.

Матричная факторизация — это разложение определенного потенциала в произведение двух матриц-блоков, каждый из которых действует как «половина дифференциала». Эта техника позволяет строить оператор локально, на каждом перекрестке диаграммы, а затем собирать глобальный оператор из локальных блоков подобно тому, как физик собирает амплитуду рассеяния из диаграмм Фейнмана. Развитый авторами формализм факторизации сохраняет инвариантность Рейдемейстера на каждом этапе — иными словами, топологическая симметрия задачи не нарушается ни при каком промежуточном вычислении, что далеко не очевидно и потребовало значительных усилий.

Особенно важно, что подход работает не только для замкнутых диаграмм — узлов и зацеплений, но и для так называемых клубков с открытыми концами.

Клубок можно представить себе как фрагмент узла, из которого торчат незамкнутые нити. С точки зрения физика, это прямой аналог рассеяния: замкнутые диаграммы соответствуют вакуумным амплитудам, а клубки — корреляционным функциям с внешними ногами, из которых и извлекается вся физическая информация.

Для клубков квадрат оператора уже не равен нулю, однако формализм факторизации по-прежнему позволяет корректно определять инварианты и строить последовательную теорию. Это существенное расширение возможностей по сравнению с предыдущими подходами, которые, как правило, были ограничены замкнутыми объектами и не могли работать с фрагментами диаграмм.

Елена Ланина, аспирант МФТИ, прокомментировала: «Когомологии Хованова—Розанского долго оставались территорией чистых математиков — территорией, куда физикам приходилось проникать вооружившись чужим языком. Мы показали, что их можно описать в терминах, естественных для физики: через дифференциальные операторы и их нулевые моды, через BRST-симметрию. Это не просто переформулировка: операторный язык позволяет задействовать всю мощь физических методов — теорию возмущений, суперсимметрию, функциональное интегрирование — для задач, которые раньше решались исключительно средствами гомологической алгебры».

Новизна работы определяется несколькими обстоятельствами. Прежде всего авторы впервые построили полную операторную реализацию когомологий Хованова—Розанского, включая случай открытых клубков. Предшествующие попытки связать эти когомологии с физическим формализмом — через топологические квантовые теории поля (TQFT) — либо ограничивались частными случаями (например, sl(2)-гомологиями Хованова), либо теряли топологическую инвариантность на промежуточных этапах вычислений. Кроме того, язык BRST-операторов, использованный в работе, восходит к одному из фундаментальных инструментов квантовой теории поля — процедуре квантования систем с калибровочной симметрией, предложенной Бекки, Руэ, Стора и Тютиным в 1970-х годах. Аббревиатура BRST, составленная из их фамилий, стала нарицательной: BRST-симметрия пронизывает всю современную теоретическую физику, от Стандартной модели до теории суперструн. Перенос этого мощного языка на территорию теории узлов демонстрирует глубокое единство, связывающее, казалось бы, далекие друг от друга области математики и физики.

Когомологии Хованова—Розанского тесно связаны с целым рядом активно развивающихся направлений современной науки: от теории низкоразмерных многообразий и алгебраической геометрии до квантовых вычислений. Одна из самых интригующих связей — с топологическими квантовыми компьютерами, где узлы и зацепления играют роль элементарных вычислительных операций. Плетение мировых линий квазичастиц-анионов в двумерных системах реализует квантовые вентили, устойчивые к ошибкам; инварианты узлов напрямую определяют результат вычисления. Операторный формализм, предложенный российскими учеными, может оказаться ключом к эффективному теоретическому моделированию таких систем, поскольку дифференциальные операторы допускают численную реализацию значительно проще, чем абстрактные конструкции гомологической алгебры. Кроме того, техника, развитая в работе, применима к широкому классу задач за пределами теории Черна—Саймонса — везде, где возникают топологические квантовые теории поля с когомологической структурой, включая модели Розанского—Виттена, топологически скрученные суперсимметричные теории и зеркальную симметрию.

Схема топологического квантового компьютера: плетение мировых линий квазичастиц-анионов реализует квантовые вентили, устойчивые к ошибкам. Инварианты узлов определяют результат вычислений / © topological quantum computer, Wikipedia

Операторный формализм создает предпосылки для разработки компьютерных алгоритмов вычисления когомологий Хованова—Розанского.

Сам факт существования операторного «подъема» поддерживает давнюю гипотезу о том, что за когомологиями Хованова—Розанского скрывается полноценная физическая теория в высших измерениях, быть может та самая М-теория, контуры которой теоретики пытаются разглядеть уже более трех десятилетий.