Исследователи создали новую вычислительную платформу для быстрого и точного анализа показателя преломления фазовых микрообъектов

Лазерная интерферометрия — один из ключевых методов диагностики объектов, в которых нет сильного поглощения излучения внутри (так называемых прозрачных фазовых объектов). Когда пучок лазерного излучения проходит через фазовый объект — плазму, ударную волну, оптический файбер или живую биологическую клетку, он меняет свою фазу. Говорят, что излучение приобретает сдвиг по фазе относительно фоновой среды, в которой оно распространяется. Приобретенный сдвиг фазы несет в себе скрытую информацию о внутреннем строении объекта, например о пространственном распределении электронной плотности в плазме, температуре и давлении в турбулентной газовой среде, дефектах в материале оптических изделий или контрасте показателя преломления компонентов биологической ткани.

Главная сложность заключается в том, чтобы математически и с высокой точностью решить обратную задачу — по результатам измерений фазового сдвига восстановить внутренние характеристики исследуемого объекта. Если объект обладает осевой симметрией или с хорошей точностью (единицы процентов) может быть аппроксимирован осесимметричной моделью, задача, как правило, сводится к решению классического интегрального уравнения Абеля. Однако в общепринятых подходах к решению этого уравнения задействуется операция численного дифференцирования входных экспериментальных данных, которая заложена в самой математической форме обращенного интегрального уравнения Абеля. В результате возникает побочный эффект — рост численной ошибки расчета из-за усиления шума, неизбежно присутствующего в исходных входных данных, что может сделать конечный результат математической обработки непригодным для последующего анализа объекта.

В рамках проведенных теоретических и численных исследований авторы работы рассмотрели практичное решение проблемы — отказ от стандартной формы записи обращенного интегрального уравнения Абеля с процедурой дифференцирования в пользу интегральных преобразований. В основе платформы ORION лежит математический цикл преобразований Фурье—Абеля—Ханкеля (ФАХ). Он преобразует исходное уравнение Абеля в цепочку интегралов, которые вычисляются с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье и специализированных быстрых подходов к вычислению преобразования Ханкеля. Работа поддержана грантом Российского научного фонда (№24-79-10167) и опубликована в журнале Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.

Такой подход обладает фундаментальными преимуществами, а именно качественным шумпоподавлением и высокой скоростью работы.

Исследователи провели масштабную численную валидацию метода и получили впечатлительные результаты. В отсутствие шума ошибка восстановления профиля диэлектрической проницаемости составляет менее 1%. Даже при добавлении 15% шума к исходным данным ошибка не превышала 5%.

Ошибки в зависимости от параметров 𝜆, 𝑅, 𝑛𝑦 и 𝑐𝑑 при 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑦 = 𝐿 = 2𝑅. Кривые для различных значений параметров практически идентичны и перекрываются на графике / © Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

На основе этого анализа авторы сформулировали четкие практические рекомендации для экспериментаторов. Оказалось, что для безошибочного восстановления профиля необходимо, чтобы на характерный пространственный масштаб объекта приходилось не менее 27 точек регистрации (пикселей ПЗС- или CMOS-матрицы). При этом работе с зашумленными данными (уровень шума до 15%, возникающего из-за дефектов оптики или самого фоторегистратора) это число следует увеличить до 57 точек.

Кроме того, была разработана эмпирическая формула, позволяющая оценить точность восстановления профиля диэлектрической проницаемости напрямую по качеству аппроксимации исходной фазовой картины. Это критически важно в тех случаях, когда истинная структура объекта неизвестна.

Зашумленный фазовый сдвиг 𝛿𝜙noised(𝑦), полученный из модельного 𝛿𝜙model(𝑦) с добавлением шума 𝑝 = 15%. (b) Исходный зашумленный сигнал 𝛿𝜙noised(𝑦) и обработанный 𝛿𝜙(𝑦) после процедур симметризации, усреднения и сглаживания (NRMSD < 6,5%). (c) Модельное распределение 𝜀(𝑦) и восстановленный профиль 𝜀(𝑦) (NRMSD < 3%). Параметры расчета: 𝜆 = 0,532 мкм, 𝑅 = 75 мкм, 𝑛𝑦 = 113, 𝑐𝑑 = 1, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑦 = 𝐿 = 2𝑅, уровень шума 𝑝 = 15% / © Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulatio Зависимость ошибки NRMSD[̃𝜀(𝑦), ̃𝜀(𝑦)] от параметров 𝑛𝑦, 𝑐𝑑 и уровня шума 𝑝 (0–15%) при фиксированных 𝜆 = 0,532 мкм, 𝑅 = 75 мкм, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑦 = 𝐿 = 2𝑅. Представленные данные демонстрируют зависимость от глубины цикла 𝑐𝑑 (отвечающей за дополнение нулями), амплитуды шума 𝑝 и числа информативных точек 𝑛𝑐ℎ, приходящихся на длину 𝐿 / © Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation Разность ошибок восстановления: NRMSD[𝛿𝜙noised(𝑦), 𝛿𝜙(𝑦)] − NRMSD[̃𝜀(𝑦), ̃𝜀(𝑦)] в зависимости от 𝑛𝑦, 𝑐𝑑 и уровня шума 𝑝 (0–15%) при фиксированных 𝜆 = 0,532 мкм, 𝑅 = 75 мкм, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑦 = 𝐿 = 2𝑅. Показана зависимость от глубины дополнения нулями 𝑐𝑑, амплитуды шума 𝑝 и числа информативных точек 𝑛𝑐ℎ на длине 𝐿 / © Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

Эффективность платформы ORION была подтверждена в реальном эксперименте по восстановлению распределений электронной плотности в плазменном искровом канале, сформированным во время электрического разряда в атмосферном воздухе. Анализ интерферограмм на основе разработанного фреймворка позволил восстановить профиль электронной плотности плазмы с точностью около 3,1%. Полученные данные показали, что плазма в канале достигает состояния, близкого к полной ионизации, с концентрацией электронов до 5,5 × 10¹⁹ см⁻³ (Рис. 6)

Экспериментальная интерферограмма плазменного канала, демонстрирующая сдвиг интерференционных полос. (b) Восстановленная карта фазового сдвига с указанием анализируемого поперечного сечения. (c) Экспериментальный и обработанный фазовые сдвиги с соответствующими восстановленными профилями: дисперсионной части диэлектрической проницаемости и электронной плотности / © Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

«Традиционные методы решения обратных дифракционных задач можно сравнить с попыткой восстановить скульптуру по ее тени на стене — любое неточное движение или неровности стены искажают наше представление о скульптуре. Наша платформа ORION действует иначе — анализирует всю тень целиком, используя информацию о параметрах скульптуры и особенностях оптических эффектов на ней, получая максимально близкую к истине цифровую копию скульптуры. Это делает восстановление данных не только быстрым и точным, но и чрезвычайно устойчивым к изъянам исходного экспериментального материала», — прокомментировала научный сотрудник ФИАН Александра Хирьянова.

«Универсальность уравнений, лежащих в основе платформы ORION, означает, что наш подход к решению обратной задачи применим за пределами физики плазмы. С его помощью можно решать задачи дифракционной томографии для биологических образцов, анализировать структуру газовых потоков и даже восстанавливать параметры объектов по картинам дифракции. Мы сделали код открытым, чтобы научное сообщество могло не только использовать его, но и развивать», — добавил Даниил Толбухин, инженер лаборатории прецизионной оптомехатроники МФТИ.

Таким образом, разработанный фреймворк не только решает давнюю проблему численной неустойчивости обращения интегрального уравнения Абеля, но и задает новый стандарт надежности при обработке интерферометрических данных. Универсальность метода открывает широкие перспективы для его применения в самых разных областях экспериментальной физики — от диагностики быстропротекающих процессов в лабораторной плазме до высокоточной характеризации оптических материалов и биологических структур.