Границы хаоса: ученые нашли островки порядка в классических и квантовых спиновых системах

В физике давно существует глубокий конфликт между двумя картинами мира. С одной стороны, подход Больцмана и Гиббса утверждает, что изолированная многочастичная система неизбежно приходит к тепловому равновесию: со временем ее состояние «размазывается» по всем доступным степеням свободы, как капля чернил в стакане воды. С другой стороны, теорема Колмогорова—Арнольда—Мозера (КАМ) говорит о том, что в почти интегрируемых системах часть фазового пространства занята торами (КАМ-торы) квазипериодического движения, которые не разрушаются малым возмущением и таким образом остаются «закрытыми зонами» для хаотических траекторий. Вопрос, где проходит граница между этими двумя режимами: порядком и хаосом, остается одним из ключевых в статистической физике.

Обычно считается, что для систем с большим числом степеней свободы — а именно такие системы описывают реальную материю — хаос побеждает практически всегда. КАМ-торы якобы исчезающе малы, а термализация наступает быстро и неизбежно. Однако новая работа российских физиков ставит эту уверенность под сомнение: они показали, что границы применимости обеих парадигм куда сложнее и интереснее, чем предполагалось ранее, причем как в классической, так и в квантовой механике.

В классическом пределе это устойчивые периодические траектории и аномально долгоживущие квазипериодические режимы, а в квантовом — особые «шрамовые» собственные состояния, замедляющие наступление теплового равновесия.

Авторы рассмотрели цепочки взаимодействующих спинов — классических и квантовых «волчков», каждый из которых может указывать в разные стороны пространства и взаимодействует с ближайшими соседями. Начальное условие они выбрали максимально простое и при этом экспериментально реализуемое: все спины в цепочке направлены строго в одну сторону. В классическом пределе такое начальное условие порождает периодическую траекторию — все спины синхронно прецессируют, сохраняя параллельность друг другу. Судьбу этой траектории авторы проследили в двух направлениях: что происходит, если ее слегка «толкнуть» в классической системе, и что с ней станет при переходе к квантовой механике. Работа, поддержанная грантом РНФ №17-12-01587, опубликована в журнале Physical Review E.

Первая — и весьма масштабная — часть работы целиком посвящена классической термализации. Исследователи вычислили ляпуновские экспоненты периодических траекторий — величины, характеризующие скорость разбегания близких траекторий. Чем больше ляпуновская экспонента, тем «хаотичнее» система и тем быстрее она «забывает» свои начальные условия. Результаты оказались неожиданными.

Три режима классической спиновой динамики: (a) периодическая траектория — спин рисует замкнутую кривую на единичной сфере; (b) квазипериодический режим — траектория теряет строгую периодичность, но остается «почти упорядоченной»; (c) эргодический режим — спин покрывает почти всю сферу / © Physical Review E

Зависимость устойчивости от длины спиновой цепочки оказалась нетривиальной: при одних длинах периодическая траектория абсолютно стабильна, а стоит добавить или убрать одно звено — и начинается хаос. Это как если бы мост, устойчивый при длине 100 метров, рушился бы при длине 99 метров.

Авторы обнаружили удивительно длинные цепочки — до 59 спинов, в которых периодические траектории остаются устойчивыми по Ляпунову, несмотря на то что энергетическая оболочка системы в целом заполнена хаотическим движением. Фазовое пространство такой системы имеет размерность больше сотни, и в этом многомерном пространстве практически все траектории хаотичны — кроме одной, идеально упорядоченной. Это все равно что обнаружить одну идеальную ровную тропинку через непролазные джунгли, которую никто не создавал искусственно.

Ключевым инструментом анализа стала трансляционная инвариантность: поскольку и гамильтониан системы, и начальные условия обладают симметрией сдвига вдоль цепочки, ляпуновские неустойчивости можно классифицировать по волновым числам — подобно тому, как звуковые колебания в трубе разлагаются на гармоники. Каждый вектор Ляпунова — возмущение, растущее со временем,— оказывается стоячей волной с определенным волновым числом.

Это позволило авторам построить полуфеноменологическую формулу, аккуратно описывающую осциллирующую зависимость наибольшей ляпуновской экспоненты от длины цепочки, и объяснить, почему при определенных длинах экспонента обращается в 0, то есть система становится устойчивой.

Можно представить себе кинотеатр с огромным числом зрителей, и все они должны хаотично пересаживаться. В работе показано, что при определенных конфигурациях зала целые ряды могут оставаться неподвижными — островки порядка посреди всеобщего беспорядочного движения. Причем для этого не нужны экзотические условия: достаточно правильно подобрать параметры системы. Более того, чем сильнее взаимодействие между спинами, тем более длинные цепочки могут оставаться устойчивыми — закономерность, прямо противоположная обычной интуиции.

Помимо зависимости от длины, авторы выявили два топологически различных режима периодического движения: «либрации» (колебания, как у маятника, качающегося вблизи нижней точки) и «ротации» (полные обороты, как у маятника, закрученного через верхнюю точку). Переход между ними происходит через сепаратрису — критическую границу в пространстве параметров. Вблизи сепаратрисы ляпуновская экспонента демонстрирует особую каспообразную сингулярность: она резко возрастает, но не расходится, а стремится к конечному значению с бесконечной производной. Авторы вывели аналитическую формулу, описывающую эту сингулярность: зависимость ляпуновской экспоненты от параметра взаимодействия вблизи сепаратрисы оказывается логарифмической.

Возможные периодические траектории классического спина при нулевой энергии: (a) либрация — замкнутая кривая на сфере; (b) сепаратриса — критическая граница между режимами; (c) ротация — две разделенные траектории / © Physical Review E Зависимость ляпуновской экспоненты периодической траектории от константы связи для спиновых цепочек различной длины. Сепаратриса разделяет режимы либраций и ротаций / © Physical Review E

Не менее интересным оказалось поведение системы после того, как неустойчивость все-таки срабатывает. Вместо того чтобы немедленно погрузиться в полный хаос, классическая система переходит в промежуточный квазипериодический режим.

Движение перестает быть строго периодическим, но еще долго остается «почти упорядоченным» — как двойной маятник, который слегка раскачивается из стороны в сторону, прежде чем окончательно перейти в хаотический режим. Физическая причина промежуточного режима в том, что ляпуновская неустойчивость первоначально развивается с единственным волновым числом, и фазовое пространство фактически остается четырехмерным. В четырехмерном пространстве двумерные торы КАМ делят трехмерную энергетическую оболочку на изолированные области, подавляя эргодичность, в отличие от пространств более высокой размерности, где торы уже не могут «перегородить» путь хаотическим траекториям.

Авторы выявили три механизма разрушения квазипериодического режима. Два из них связаны с появлением дополнительных ляпуновских неустойчивостей — либо вокруг исходной периодической траектории (когда «просыпается» мода с новым волновым числом), либо уже вокруг самой квазипериодической траектории. Оба этих механизма делают фазовое пространство шестимерным, где КАМ-торы более не в состоянии изолировать хаотические области. Однако третий механизм оказался самым экзотическим: в нескольких случаях оба «быстрых» механизма не срабатывали, и время жизни квазипериодического режима достигало миллиона характерных единиц времени — аномально долго. Авторы интерпретировали это как проявление диффузии Арнольда — чрезвычайно медленного «просачивания» траектории сквозь редкие пересечения между КАМ-торами в фазовом пространстве.

Диффузия Арнольда похожа на попытку пробраться через город, в котором все улицы перекрыты баррикадами. Вы находите крохотные проходы между ними, но продвигаетесь очень медленно. Авторы статьи обнаружили этот режим в сильно неинтегрируемых системах, где его никто не ожидал увидеть. Обычно считается, что диффузия Арнольда — удел почти интегрируемых систем, близких к идеальному порядку. Результаты показывают, что даже глубоко в хаотическом режиме, вблизи особых периодических траекторий, динамика может быть почти интегрируемой.

Авторы также предложили экспериментально реализуемый способ измерения ляпуновских экспонент периодических траекторий: оказалось, что достаточно наблюдать за динамикой всего одного спина в многочастичной системе. Экспоненциальный рост отклонения от идеального периодического поведения происходит со скоростью, равной удвоенной ляпуновской экспоненте, и эту скорость, в принципе, можно измерить на таких экспериментальных платформах, как массивы холодных атомов или механические спиновые симуляторы.

Вторая часть работы переносит полученную классическую картину в мир квантовой механики. Переход от классики к квантам далеко не тривиален: в квантовой механике само понятие фазовой траектории размывается принципом неопределенности Гейзенберга, и прямого аналога классического хаоса попросту не существует. Тем не менее классические периодические орбиты могут оставлять след в квантовом мире — в виде так называемых квантовых шрамов: особых собственных состояний энергии, чье распределение концентрируется вдоль классической траектории, а не размазывается равномерно по всему доступному пространству, как предписывает популярная гипотеза термализации собственных состояний .

Авторы численно промоделировали квантовую динамику спиновых цепочек со спинами 1/2, 1, 3/2 и 2, стартуя из одного и того же начального состояния: все спины направлены в одну сторону. Для спинов 3/2 и выше были обнаружены наиболее отчетливые квантовые шрамы. Важнейший результат — замедление термализации: квантовые системы, стартующие из «шрамовых» начальных условий, приходят к равновесию заметно медленнее, чем при типичных начальных условиях с той же энергией. Авторы показали, что это замедление сохраняется и в термодинамическом пределе — при увеличении длины цепочки до бесконечности, что делает эффект физически значимым, а не просто артефактом малых систем.

Примечательно, что для спинов 1/2 — наиболее популярной модели в квантовых вычислениях — свидетельств квантовых шрамов обнаружено не было, а для спина 1 картина оказалась переходной. Это объясняется тем, что квантовые шрамы требуют определенной близости к квазиклассическому пределу: квантовый волновой пакет должен успеть «обернуться» вокруг классической траектории, прежде чем хаотическая неустойчивость размоет его когерентность. Для спинов с большим квантовым числом это условие выполняется лучше, потому что квазиклассическое приближение для них точнее.

Сферическая карта перекрытия между собственным состоянием энергии и когерентным спиновым состоянием для цепочки спинов 2: (a) шрамовое состояние — плотность концентрируется вдоль периодической траектории; (b) типичное состояние — плотность распределена равномерно / © Physical Review E

Помимо самих шрамов авторы обнаружили квантовый аналог классической сепаратрисы — границы между либрациями и ротациями. Квантовая сепаратриса проявляется как кроссовер между осциллирующим и монотонным затуханием поляризации одного спина. Она также сопровождается пиком в числе участвующих собственных состояний энергии. Положение этого пика точно совпадает с классическим значением критической константы связи, что демонстрирует глубокую связь между классической и квантовой динамикой даже в системах, далеких от интегрируемости.

Практическая значимость работы выходит далеко за рамки фундаментальной физики. Квантовые шрамы — это механизм замедления термализации, а термализация — один из главных врагов квантовых вычислений: именно она уничтожает хрупкие квантовые суперпозиции, лежащие в основе работы квантовых компьютеров и квантовых симуляторов. Понимание того, какие начальные условия и параметры системы замедляют термализацию, может подсказать пути создания более устойчивых квантовых устройств. Не менее важны и классические результаты: устойчивые периодические траектории на хаотических энергетических оболочках и аномально долгоживущие квазипериодические режимы, связанные с диффузией Арнольда, это новые, неожиданные ограничения на скорость термализации, которые необходимо учитывать при описании реальных физических систем.

Игорь Ермаков, первый автор статьи, научный сотрудник лаборатории физики сложных квантовых систем МФТИ, заключил: «Хаос и порядок — не антиподы, а скорее партнеры в сложном танце. Наша работа исследует границы применимости двух фундаментальных подходов — больцмановской термализации и теории КАМ — одновременно в классической и квантовой механике. Мы показали, что даже в самых хаотических системах порядок не исчезает полностью, а прячется в особых структурах: классических устойчивых траекториях, квазипериодических режимах и квантовых шрамах. Открытым остается вопрос о выживании шрамовых собственных состояний в термодинамическом пределе для спинов 3/2 и выше — мы планируем исследовать его, распространив наш подход на более сложные модели и проверив предсказания экспериментально».