Физики доказали, что Вселенная не может быть компьютерной симуляцией? Что здесь не так

Статья «Последствия неразрешимости в физике для теории всего», недавно опубликованная в Journal of Holography Applications in Physics группой во главе с Миром Файзалом, навела шороху в Рунете. Шутка ли: авторы утверждают, что Вселенная не может быть компьютерной симуляцией.

Это не вскользь брошенное замечание: тезис вынесен в аннотацию (abstract) статьи, где суммируются самые важные результаты исследования. Помимо этого, публикация пестрит громкими словами о «неалгоритмируемом понимании», ссылками на великие теоремы и содержит пафосную фразу «крах вычислительных объяснений не означает крах науки».

Прежде чем погружаться в детали, обрисуем результат в двух словах. Авторы полагают, что фундаментальная «теория всего», суммирующая все физические законы, обязана содержать результаты, невычислимые на компьютере. Из этого они делают вывод, что мир не компьютер. Выходит, исследователи открыли нам фундаментальную истину о Вселенной? Увы, все совсем не так просто. Во-первых, все совсем не просто, во-вторых, все совсем не так.

Что такое теория всего

Разберемся для начала, что же такое эта самая теория всего. Сегодня в физике есть две теории, претендующие на описание самых глубоких законов, управляющих материей, пространством и временем.

Первая — Стандартная модель физики элементарных частиц, о которой Naked Science подробно рассказывал. Она описывает поведение частиц и все силы, действующие между ними, кроме гравитации. Стандартная модель превосходно проверена экспериментами, и пока в физике частиц известен только один достоверный экспериментальный результат, который в нее не укладывается — наличие массы у нейтрино.

Вторая теория — Общая теория относительности (ОТО), представляющая гравитацию как свойство пространства-времени. Она тоже отлично проверена экспериментами и наблюдениями, от хронометров на самолетах до детекторов гравитационных волн. Но и у нее есть слабые места. Например, в центре черной дыры кривизна пространства-времени обращается в бесконечность. Там теория перестает работать: ОТО «не знает», что делать с бесконечной кривизной.

Визуализация компьютерной модели Вселенной / © Tomoaki Ishiyama

Обе теории очень хороши, хотя несовершенны. Проблема в том, что они несовместимы друг с другом. Стандартная модель основана на квантовых принципах, ОТО — нет. Попытки создать квантовую теорию гравитации проваливаются с завидной регулярностью. На эту тему есть много спекуляций, но нет нормально работающей теории. Гипотетическая теория, которая объединит Стандартную модель с ОТО, и называется Теорией всего. Физики надеются, что она устранит слабые места обеих теорий.

Сделать из науки игру

Теперь объясним, что такое неразрешимость, о которой говорят авторы недавней статьи. Заодно расскажем, что на самом деле доказал Гедель, которого к месту и не к месту поминают любители пофилософствовать.

На заре XX века математики озаботились вопросом: нет ли в их построениях скрытых ошибок и противоречий? Тому было несколько причин. Например, такая: математики начали работать с очень абстрактными объектами, непривычными человеческому мышлению, — многомерными пространствами, абстрактными множествами и так далее. Этот подход открыл невиданные возможности: в XX веке сделано больше математических открытий, чем за всю предыдущую историю человечества. Но он таит в себе и опасность.

Даже ребенок заметит, что во фразе «рассмотрим пятиугольный треугольник» что-то не так. Заметить подвох во фразе «рассмотрим множество всех множеств» гораздо труднее, хотя она столь же противоречива. А если допустить в построениях хоть одно противоречие, то можно «доказать» что угодно. Философ и математик Бертран Рассел любил повторять: «Позвольте мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что вы папа римский».

Разгорелись жаркие дебаты о том, как надо доказывать теоремы и проверять доказательства. В них участвовали, наверное, все крупные математики эпохи.

В честь нового запуска БАК: как физики разобрали Вселенную на шестеренки Большой адронный коллайдер возвращается в строй после более чем трехлетнего перерыва. В честь этого события Naked Science рассказывает об открытиях, совершенных на ускорителях прошлого, и о том, че… naked-science.ru

Великий Давид Гильберт предложил радикальный подход. Идея состояла в том, чтобы следить за соблюдением правил в математических рассуждениях было так же легко, как в шахматной партии. Есть список правил, какая фигура как ходит. Любой желающий легко проверит, сделан ход по правилам или нет.

Четыре шага к предельной ясности

Расскажем, как это работает. Первый шаг — записать алфавит теории, то есть перечислить символы, которыми можно пользоваться.  Обычно это латинские буквы, цифры, скобки, логические знаки и так далее.

Шаг второй — определить, какие наборы символов будут утверждениями. Например, утверждением является строка «Ɐ n  n > 2 => n > 1». Ее смысл: любое число n, которое больше двух, больше и единицы (логический символ Ɐ означает «любое»). А вот строка, скажем, «(((((89==» никаким утверждением не является, это просто бессмысленный набор символов.

К счастью, довольно легко сформулировать правила, отличающие осмысленные сочетания знаков от бессмысленных. Эти правила столь же конкретны и однозначны, как указания, как ходит ферзь, а как конь. Например, скобки используются парами, два знака = не могут идти подряд, и так далее.

Первые два шага, которые мы сделали, называются «определить язык теории». Языки бывают разные. Например, пусть в нашем языке есть знак умножения, но нет знака возведения в степень. Тогда утверждение «для любого целого числа n верно n 2 × n = n 3» придется записывать как «Ɐ n  n × n × n = n × n × n». Это неудобно и затемняет смысл, но все-таки возможно. А вот как записать на столь бедном языке утверждение «для любых целых чисел a, n, m верно a n × a m = a n+m»? Никак. Язык, в котором нет возведения в степень, просто не способен выразить эту мысль. Мы ведь не можем поставить значок умножения n раз, если речь идет о всех возможных n сразу.

Таким образом, от языка теории зависит, какие утверждения на нем можно записать, а какие нет. Есть более выразительные и менее выразительные языки. Запомним этот очень важный факт, он нам понадобится.

Определившись с языком, мы делаем третий шаг: выбираем, какие утверждения языка будут аксиомами нашей теории.

И, наконец, четвертый и последний шаг: определяем, какие цепочки утверждений мы согласны считать доказательствами. Конечно, мы не составляем список всех доказательств — их бесконечно много. Нужно только сформулировать правила, которым должна удовлетворять цепочка утверждений, ведущая от аксиом к утверждению X, чтобы считаться доказательством утверждения X. Разумеется, в основе этих правил — общепризнанные законы логики.

Механический математик

Объясним, зачем нужны все эти мучения. Добровольно ограничив свои возможности предельно конкретными, механическими правилами, мы не оставили места никаким софизмам, двусмысленностям и противоречиям.

Формальное доказательство может проверить даже тот, кто не знает математики, а всего лишь сверяется со списком правил. Не обязательно хорошо играть в шахматы, чтобы сказать, пошел ли конь буквой Г. Сейчас этот подход известен как формализация, или построение формальной теории. Его используют для компьютерной проверки математических доказательств.

Кстати, о компьютерах. Формальная теория дает нам, казалось бы, безотказный способ доказательства теорем. Как доказать, скажем, теорему Ферма? Первый шаг — записать ее на языке формальной теории. Потом можно просто перебирать все возможные цепочки утверждений в алфавитном порядке. Рано или поздно одна из них окажется доказательством теоремы Ферма. А если бы теорема Ферма была ошибочна, рано или поздно мы наткнулись бы на доказательство противоположного ей утверждения.

Курт Гедель / Фото с сайта www.flickr.com

Насколько рано и насколько поздно для лучших современных суперкомпьютеров? Ну, скажем, Солнце наверняка успеет погаснуть. Возможность найти доказательство прямым перебором — чисто теоретическая. Но важно, что для любой доказуемой теоремы в принципе существует алгоритм, который находит ее доказательство.

Гедель делает больно

Стоп. Что значит «рано или поздно одна из цепочек окажется доказательством теоремы Ферма»? Мы ведь не сказали, какие аксиомы мы используем. Построим игрушечную теорию с языком, на котором можно записать теорему Ферма, но единственной аксиомой: «Ɐ n n = n» (она утверждает, что любое число равно самому себе). Из такой, с позволения сказать, аксиоматики не выведешь даже таблицу умножения, не то что теорему Ферма.

Что же случится с алгоритмом, тупо перебирающим бесконечное множество цепочек, составленных из утверждений нашей теории, в поисках доказательства или опровержения теоремы Ферма? Он будет выполняться вечно и никогда не придет к результату, то есть, как говорят программисты, зациклится.

Нетрудно догадаться — но можно и строго обосновать, — что вообще никакой алгоритм, ограниченный правилами нашей игрушечной теории, не сможет доказать теорему Ферма. Потому что невозможно найти кошку там, где ее нет. Эта задача попросту неразрешима в нашей теории.

Зачем мы придумали такую дурацкую теорию — с единственной и бесполезной аксиомой? Чтобы проиллюстрировать неприятную истину, известную как теорема Геделя о неполноте. Она гласит: в любой формальной теории, язык которой достаточно выразителен, найдутся недоказуемые и неопровержимые утверждения. Их можно записать на языке теории, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть исходя из ее аксиом и по ее правилам доказательств. Причем неважно, что это за аксиомы и правила. Главное, чтобы они не противоречили друг другу.

Но, может быть, лишь самым сложным областям высшей математики требуются столь выразительные языки? К сожалению, нет. Уже язык арифметики — науки об операциях над целыми числами — слишком выразителен. Можно искусственно обеднить этот язык, но тогда мы не сможем выразить на нем многие важные математические факты (вспомните пример со степенью).

Что же это за таинственные утверждения, недоказуемые и неопровержимые в арифметике? Для начала следует определиться, о какой из ее формализаций мы говорим. Есть разные варианты формальной арифметики, но чаще других используется арифметика Пеано. Для нее самый известный пример — теорема Гудстейна.

Рубен Гудстейн доказал эту теорему в 1944 году. Десятилетия спустя математики убедились, что эту теорему нельзя ни доказать, ни опровергнуть в арифметике Пеано, хотя и можно сформулировать на ее языке. (В формулировке теоремы Гудстейна нет ничего сложнее возведения в степень, но она довольно длинная. Поэтому мы не будем ее приводить, отослав читателя хотя бы к википедии).

Каким образом Гудстейн доказал теорему, если это, казалось бы, невозможно? Ответ прост: математик не ограничивался методами, разрешенными в арифметике Пеано. Он вообще работал не в формальной теории, а, как все нормальные люди, рассуждал на естественном языке (в его случае — английском).

Видящий невозможное: как «Джеймс Уэбб» переписывает историю Вселенной Поток результатов космической обсерватории «Джеймс Уэбб» все больше озадачивает ученых. Телескоп фиксирует множество древних массивных галактик, которых, по современным представлениям, вообще не до… naked-science.ru

В своих рассуждениях ученый использовал более мощные средства доказательства, чем дозволены арифметикой Пеано. Однако они тоже вполне законны — во всяком случае, по мнению большинства математиков.

Мозг сильнее компьютера?

Означает ли это, что Гудстейн применил некое таинственное «неалгоритмируемое понимание» в терминах Файзала и коллег? Нет, не означает. Доказательство Гудстейна прекрасно формализуется в более мощной теории, чем арифметика Пеано — а именно, в арифметике второго порядка. Так, может быть, в топку Пеано, и давайте все доказательства записывать в арифметике второго порядка? Увы, теорема Геделя гласит, что там найдутся свои собственные неразрешимые задачи, и так без конца.

Заявка на «неалгоритмирумое понимание» вообще очень спорна. Многие философы и ученые предполагают, что само человеческое мышление есть выполнение дьявольски сложного и разветвленного алгоритма. Они говорят: человек, конечно, не в силах осознать и тем более записать алгоритм, по которому мыслит, но этот алгоритм есть.

Споры о том, так это или нет, не утихают десятилетиями. Но выход человеческого мышления за рамки конкретной формальной теории, будь то арифметика Пеано или не построенная пока «теория всего», точно не свидетельствует ни о каком «неалгоритмируемом понимании».

Истина, нарезанная соломкой

Не обязательно формализовывать целую область математики, такую как арифметика. Можно формализовать и доказательство отдельно взятой теоремы. После этого проверку доказательства можно поручить компьютеру. Среди математиков есть любители такого труда. Однако это очень долгое и утомительное занятие даже для довольно простых теорем.

Программисты знают, какой кропотливый труд — перевод «с человеческого на компьютерный». Поэтому подавляющее большинство математиков не заботится о формализации и машинной проверке своих результатов. Достаточно, чтобы доказательство было понятно коллегам, проверено и одобрено ими. Что там свежие результаты —  далеко не все теоремы, входящие в вузовские учебники, уже формализованы и проверены компьютерами. Впрочем, они столько раз проверены людьми, что в них и так никто не сомневается.

«По слову Кантора, сущность математики — в ее свободе». Интервью с Александром Буфетовым Говорят, что математикам для работы достаточно всего лишь бумаги, карандаша и ластика. Но им прежде всего для работы нужны идеи и — свобода. Именно так считает Александр Буфетов, ведущий научный со… naked-science.ru

Итак, задача формальной проверки каждой доказанной теоремы оказалась непомерно трудной. Формализация больших математических теорий наталкивается на неразрешимые задачи, согласно теореме Геделя. Мечта сделать всю математику ясной как шахматы оказалась утопией. Но и страх допустить противоречие тоже ушел: математики научились аккуратно обращаться с коварными абстрактными понятиями, о которые их предшественники разбивали себе лбы столетие назад. Сегодня формализация теорем — это небольшая боковая ветвь математики.

Физики нарушают правила

Если математики за XX век почти поголовно разочаровались в формализации, то физики только-только ею заинтересовались. Пока математики десятилетиями копались в вопросе, как сделать свои строгие рассуждения еще более строгими, физики обращались с математическими понятиями, по чьему-то меткому выражению, как повар с картошкой.

В той же Стандартной модели до сих пор хватает трюков, с точки зрения математика просто жульнических. Математика говорит, что переход к этой формуле незаконен? Обидно, конечно, но мы его сделаем. Он нам очень нужен, ведь формула подтверждена экспериментом.

Для физиков главный судья — опыт, а не математическая строгость. Если его величество эксперимент согласен с формулой, то все равно, откуда она взялась, хоть во сне приснилась. Как ее получить без насилия над математикой, разберемся когда-нибудь потом (но это не точно).

К концу XX века развитие теоретической физики замедлилось. Возможно, именно скромный прогресс в создании новых физических теорий заставил некоторых физиков обратить внимание на формализацию, теорему Геделя и прочие забавы «чистых математиков». Появился целый куст работ, авторы которых формализовывали ту или иную физическую задачу и показывали ее неразрешимость в этой формализации.

По мнению некоторых философов, вся Вселенная может представлять собой компьютерную симуляцию. На фото суперкомпьютер «Ломоносов». / © Nadir of Moscow, Wikimedia Commons.

Досталось и ОТО, и квантовой теории поля, лежащей в основе Стандартной модели. Группа Файзала ссылается на эти результаты и резонно утверждает: в теории всего, если ее построить и формализовать, тоже найдутся неразрешимые утверждения. Да, найдутся. И что? При чем здесь вопрос, является ли Вселенная компьютерной симуляцией? Проследим последний и самый лихой извив мысли авторов.

Следуй за белым кроликом

Логика здесь обманчиво проста. Допустим, что мы все-таки живем «в матрице». Мировой компьютер, как и любой другой компьютер, работает согласно алгоритму. Этот алгоритм вычисляет, как поведет себя каждая частица во Вселенной. А с другой стороны, давайте представим, что у нас есть формальная теория всего. Она описывает самые фундаментальные физические законы. Все остальные законы, будь то закон Ома или закон Архимеда, суть их следствия, приложения и частные случаи.

Значит, по мнению авторов, алгоритм вселенского компьютера должен вычислять ответ на любой вопрос, который можно сформулировать на языке теории всего. Но старик Гедель запрещает такие фокусы: в любой формальной теории есть утверждения, о которых никакой алгоритм не даст ответа, истинные они или ложные! Значит, мы не живем в компьютерной симуляции. Занавес, аплодисменты.

Что не так в этом рассуждении? Увы, авторы банально спутали теорию с реальностью.

Да, алгоритм вселенского компьютера обязан вычислять исход любого события в мире. В том числе — результат любого эксперимента, который когда-либо будет в силах провести человек. Другими словами, он должен вычислять ответ на вопрос, если этот вопрос экспериментально проверяем. Это очень важное «если».

Предположим, доктор Умникс создал теорию квантовой гравитации и формализовал ее. Затем профессор Скрупулез обнаружил, что в рамках формальной теории Умникса неразрешим вопрос, пушистая ли кракозябра. Скрупулез провел эксперимент над кракозяброй и убедился, что она пушистая.

Что мы в результате узнаем о Вселенной? Только что, что она не всегда следует формальной теории Умникса. Потому что Вселенная дает ответ на вопрос, на который в рамках этой теории ответить невозможно.

Может ли такая Вселенная быть симуляцией? Разумеется. Просто ее алгоритмы должны манипулировать чем-то большим, чем доказательства, разрешенные в теории Умникса. Тогда они смогут решить вопрос о кракозябре. Так же как арифметика второго порядка доказывает теорему Гудстейна, недоказуемую в арифметике Пеано.

Допустим, спустя полвека доктор Мудрикс предложит теорию, решающую проблему кракозябры. Его коллега профессор Дотошнов найдет и проверит в экспериментах новый неразрешимый вопрос — скажем, о бармаглоте. Что из этого последует? Опять-таки дилемма: либо Вселенная не симуляция, либо механизм этой симуляции богаче не только теории Умникса, но и теории Мудрикса.

Какие бы новые эксперименты мы ни провели, какие бы теории ни построили, мы никогда не избавимся от подобных дилемм. Можно взять формальную теорию и доказать, что она не в силах вычислить результат проведенного эксперимента. Но нельзя доказать, что результат проведенного эксперимента не вычислим вообще ни в какой формальной теории. По простой причине: количество проведенных экспериментов всегда останется конечным.

Физики обосновали, как время может течь обратно в открытой квантовой системе Ученые математически объяснили возможность обратного течения времени на микроуровне. Новое исследование показывает, что противоположные стрелы времени теоретически могут возникать в определенных кв… naked-science.ru

В принципе, в алгоритм Вселенной достаточно дописать нужное число строк вроде «кракозябра в лаборатории профессора Скрупулеза всегда должна быть пушистой», и этот алгоритм будет идеально соответствовать всем экспериментальным данным. Трудно поверить, что Вселенная функционирует по столь уродливым правилам, но и опровергнуть это невозможно.

Окончательная истина?

Так дело в том, что теории Умникса и Мудрикса несовершенны? Что ж, давайте предположим, что в 2300 году Единый Разум Земли, вобравший в себя всю мощь искусственных и естественных интеллектов планеты, додумался до Подлинной теории всего. Эта формальная теория решает все вопросы, которые могут быть когда-либо кем-либо проверены экспериментально. Она вычисляет исходы всех ситуаций, которые когда-либо происходили или произойдут.

Допустим, сверхразум в своей теории открыл те самые алгоритмы, по которым работает Вселенная-симулятор (хотя, заметим в скобках, он никогда не сможет убедиться в том, что они — действительно те самые).

Будут ли в формальной Подлинной Теории Всего неразрешимые задачи? Да. Даже сверхинтеллект не в силах отменить математическую истину, открытую Геделем. Как это согласовать с предположением, что Вселенная — симулятор? Нужно просто сказать, что это задачи о событиях, которые никогда и нигде не происходили и не произойдут. Поэтому у космического компьютера нет никакой необходимости их решать.

Невежественным людишкам XXI века казалось, что эти события вполне возможны? Они даже составили список задач, формально неразрешимых в ОТО или квантовой теории поля? Что ж, когда-то людям казалось, что Земля плоская, а потом — что она шар, а потом — что она эллипсоид.

Сейчас мы знаем, что все это — лишь приближения к истине. Каждое из них точнее предыдущего, но на самом деле Земля имеет слегка неправильную форму, для которой изобрели специальное название «геоид». Не то чтобы автор этих строк плохо думал об ОТО, Стандартной модели или гипотетической пока «теории всего». Просто так устроены все физические теории, когда-либо созданные человечеством.

В конечном счете это лишь модели, предсказывающие экспериментальные результаты с точностью, которая устраивает экспериментатора. Если и возможна Подлинная теория всего, мы сейчас понятия не имеем, на что она будет похожа, а тем более — какие задачи будут в ней неразрешимы.

Как же все-таки опровергнуть гипотезу, что Вселенная — компьютерная симуляция? Никак. Она неопровержима. Как и гипотеза, что Вселенная появилась секунду назад в нынешнем виде — с костями динозавров в музеях и готовыми воспоминаниями в наших головах. Как и гипотеза, что весь мир — лично ваша иллюзия. Как и еще куча странных измышлений, из которых никто еще не вывел ни одного нетривиального проверяемого факта.

Гипотеза о симулированной Вселенной столь же неопровержима, сколь и бесполезна — во всяком случае, пока какой-нибудь хакер не научился заходить в другие симуляции или выполнять на космическом компьютере произвольный код.

Сухой остаток

Подведем итоги этого поневоле длинного и, возможно, сложноватого текста.

Да, в любой формальной теории с достаточно выразительным языком есть неразрешимые задачи. Эта истина, открытая в первой половине XX века, сегодня уже банальна. Да, если формализовать физическую теорию, такие задачи будут и там.

Нет, физиков это совершенно не беспокоит. Потому что физики в своих выкладках практически никогда не ограничиваются средствами формальной теории. Что там добровольная аскеза формалистов, физики порой позволяют себе нарушать даже элементарные математические правила, лишь бы в итоге получалась работающая модель. Работающая — значит, правильно предсказывающая результаты экспериментов.

Нет, наличие неразрешимых задач в формальных физических теориях вообще ничего не говорит о том, может ли Вселенная быть компьютерной симуляцией.

Да, публикация статьи, предлагающей ответ на «главный вопрос жизни, Вселенной и вообще», в «Журнале применения голографии в физике» должна насторожить. Публикация в непрофильном журнале — это явный признак, что статью не взяли в профильный.

Нет, на авторитет статьи в научном журнале, увы, не всегда можно полагаться.